Définition
Classe \(\mathcal C^1\)
Définition d'une fonction de classe \(\mathcal C^1\) :
- soit \(E,F\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\)
- \(f\) est différentiable sur \(U\)
- \(df:U\to\mathcal L_C(E,F)\) est continue
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\)
(
Différentielle - Différentiabilité,
Continuité (topologie))
[!Remark] Topologie
Sur \(\mathcal L_C(E,F)\), on considère la topologie de la norme subordonnée
[!Warning] Linéarité
\(df(a)\) est linéaire, mais pas forcément \(df\).
Classe \(\mathcal C^2\)
Définition d'une fonction de classe \(\mathcal C^2\) :
- soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\) et \(f:U\to F\)
- \(f\) est deux fois différentiable sur \(U\)
- \(d^2f\) est continue
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est dite de classe \(\mathcal C^2\) sur \(U\)
Classe \(C^k\)
Définition :
On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal C^k\) si \(df\) est \(\\ C^{k-1}\) et \(f\) est continue (définition par récurrence)
Classe \(\mathcal C^\infty\)
Définition :
On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal C^\infty\) si \(f\) est de classe \(\mathcal C^k\) pour tout \(k\geqslant0\)
Exemple :
Les applications linéaires et multilinéaires continues sont de classe \(\mathcal C^\infty\)
Propriétés
Caractérisation via les dérivées partielles
Caractérisation d'une fonction de classe \(\mathcal C^2\) :
- soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\) et \(f:U\to F\)
- \(f\) admet des différentielles partielles secondes sur \(U\)
- ces différentielles secondes sont continues
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est dite de classe \(\mathcal C^2\) sur \(U\)
Caractérisation des \(\mathcal C^k\)-difféomorphismes
Caractérisation des \(\mathcal C^k\)-difféomorphismes :
- on se place dans un espace de Banach
- \(f\) est \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme (continue et d'inverse continu)
- \(f\) est de classe \(\mathcal C^k\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est un \(\mathcal C^k\)-difféomorphisme
(
Difféomorphisme)
[!Remarque]
Parfois, on ne parle pas de \(\mathcal C^k\)-difféomorphisme ni de \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme, mais juste de difféomorphisme
Caractérisation des \(\mathcal C^k\) dans \({\Bbb R}^n\)
Proposition :
Soient \(F\) un espace vectoriel normé, \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to F\)
Alors \(f\) est \(\mathcal C^k\) si et seulement si elle admet des dérivées partielles d'ordre \(k\) sur \(U\), qui sont continues sur \(U\)
(
Dérivée partielle)